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[早教幼教] 小学数学应用题21种类型总结(附例题、解题思路)

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发表于 2018-12-18 10:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
1、归一问题
【含义】
在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。


【数量关系】
总量÷份数=1份数量
1份数量×所占份数=所求几份的数量
另一总量÷(总量÷份数)=所求份数


【解题思路和方法】
先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。


例1
买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?

(1)买1支铅笔多少钱?0.6÷5=0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元)
列成综合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)
答:需要1.92元。


例2
3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷?

(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?90÷3÷3=10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?10×5×6=300(公顷)
列成综合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)
答:5台拖拉机6天耕地300公顷。


例3
5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次?

(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?100÷5÷4=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?5×7=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?105÷35=3(次)
列成综合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)
答:需要运3次。


2、归总问题


【含义】
解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。


【数量关系】
1份数量×份数=总量
总量÷1份数量=份数
总量÷另一份数=另一每份数量


【解题思路和方法】
先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。


例1
服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?

(1)这批布总共有多少米?3.2×791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套)
列成综合算式3.2×791÷2.8=904(套)
答:现在可以做904套。


例2
小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》?

(1)《红岩》这本书总共多少页?24×12=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?288÷36=8(天)
列成综合算式24×12÷36=8(天)
答:小明8天可以读完《红岩》。


例3
食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?

(1)这批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天)
列成综合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)
答:这批蔬菜可以吃25天。


3、和差问题


【含义】
已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。


【数量关系】
大数=(和+差)÷2
小数=(和-差)÷2


【解题思路和方法】
简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。


例1
甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?

甲班人数=(98+6)÷2=52(人)
乙班人数=(98-6)÷2=46(人)
答:甲班有52人,乙班有46人。


例2
长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。

长=(18+2)÷2=10(厘米)
宽=(18-2)÷2=8(厘米)
长方形的面积=10×8=80(平方厘米)
答:长方形的面积为80平方厘米。


例3
有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。


例4
甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?

“从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(14×2+3),甲与乙的和是97,因此甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
答:甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。


4、和倍问题


【含义】
已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。


【数量关系】
总和÷(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数×几倍=较大的数


【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。


例1
果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?

(1)杏树有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)
答:杏树有62棵,桃树有186棵。


例2
东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨?

(1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
答:东库存粮280吨,西库存粮200吨。


例3
甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍,
那么,几天以后甲站的车辆数减少为
(52+32)÷(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)÷(28-24)=6(天)
答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。


例4
甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?

乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么,
甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28
乙数=28×2-4=52
丙数=28×3+6=90
答:甲数是28,乙数是52,丙数是90。


5、差倍问题


【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。


【数量关系】
两个数的差÷(几倍-1)=较小的数
较小的数×几倍=较大的数


【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。


例1
果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

(1)杏树有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)
答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。


例2
爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?

(1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=9×4=36(岁)
答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。


例3
商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元?

如果把上月盈利作为1倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍,因此
上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
答:上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。


例4
粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138-94)就相当于(3-1)倍,因此
剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=72÷9=8(天)
答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。


6、倍比问题


【含义】
有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。


【数量关系】
总量÷一个数量=倍数
另一个数量×倍数=另一总量


【解题思路和方法】
先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。


例1
100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)
列成综合算式40×(3700÷100)=1480(千克)
答:可以榨油1480千克。


例2
今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?

(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)
(2)共植树多少棵?400×160=64000(棵)
列成综合算式400×(48000÷300)=64000(棵)
答:全县48000名师生共植树64000棵。


例3
凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

(1)800亩是4亩的几倍?800÷4=200(倍)
(2)800亩收入多少元?11111×200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?16000÷800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?2222200×20=44444000(元)
答:全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。


7、相遇问题


【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。


【数量关系】
相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间


【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。


例1
南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?

392÷(28+21)=8(小时)
答:经过8小时两船相遇。


例2
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?

“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)
答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。


例3
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。

“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,
相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×3=84(千米)
答:两地距离是84千米。


8、追及问题


【含义】
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。


【数量关系】
追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×追及时间


【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。


例1
好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?

(1)劣马先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900÷(120-75)=20(天)
列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)
答:好马20天能追上劣马。


例2
小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是
(500-200)÷[40×(500÷200)]
=300÷100=3(米)
答:小亮的速度是每秒3米。


例3
我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米,甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10)
=220÷20=11(小时)
答:解放军在11小时后可以追上敌人。


例4
一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为16×2÷(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)×4=352(千米)
列成综合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]
=88×4
=352(千米)
答:甲乙两站的距离是352千米。


9、植树问题


【含义】
按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。


【数量关系】
线形植树棵数=距离÷棵距+1
环形植树棵数=距离÷棵距
方形植树棵数=距离÷棵距-4
三角形植树棵数=距离÷棵距-3
面积植树棵数=面积÷(棵距×行距)


【解题思路和方法】
先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。


例1
一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?

136÷2+1=68+1=69(棵)
答:一共要栽69棵垂柳。


例2
一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树?

400÷4=100(棵)
答:一共能栽100棵白杨树。


例3
一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯?

220×4÷8-4=110-4=106(个)
答:一共可以安装106个照明灯。


例4
给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少需要多少块地板砖?

96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(块)
答:至少需要400块地板砖。


例5
一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯?

(1)桥的一边有多少个电杆?500÷50+1=11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆?11×2=22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯?22×2=44(盏)
答:大桥两边一共可以安装44盏路灯。


10、年龄问题


【含义】
这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。


【数量关系】
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。


【解题思路和方法】
可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。


例1
爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?

35÷5=7(倍)
(35+1)÷(5+1)=6(倍)
答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。


例2
母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)
列成综合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年)
答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。


例3
甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?

这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:
过去某一年 今年 将来某一年
甲 □岁 △岁 61岁
乙 4岁 □岁 △岁
表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差,
因此二人年龄差为(61-4)÷3=19(岁)
甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)
乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)
答:甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。


11、行船问题


【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。


【数量关系】
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2


【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1
一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?

由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时320÷8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷10=32(小时)
答:这只船逆水行这段路程需用32小时。


例2
甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间?

由题意得甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍,
所以,水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)
又因为,乙船速-水速=360÷15,
所以,乙船速为360÷15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以,乙船顺水航行360千米需要
360÷40=9(小时)
答:乙船返回原地需要9小时。


12、列车问题


【含义】
这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。


【数量关系】
火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速
火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)
÷(甲车速-乙车速)
火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)
÷(甲车速+乙车速)


【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1
一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。
(1)火车3分钟行多少米?900×3=2700(米)
(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)
列成综合算式900×3-2400=300(米)
答:这列火车长300米。


例2
一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?

火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200米+桥长),所以,桥长为
8×125-200=800(米)
答:大桥的长度是800米。


例3
一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶,一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米,因此,所求的时间为
(225+140)÷(22-17)=73(秒)
答:需要73秒。


例4
一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来,那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间?

如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。
150÷(22+3)=6(秒)
答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。


13、时钟问题


【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。


【数量关系】
分针的速度是时针的12倍,
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。


【解题思路和方法】
变通为“追及问题”后可以直接利用公式。


例1
从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?

钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时针每小时走5格,每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以
分针追上时针的时间为20÷(1-1/12)≈22(分)
答:再经过22分钟时针正好与分针重合。


例2
四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角?

钟面上有60格,它的1/4是15格,因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。
(5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分)
(5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分)
答:4点06分及4点38分时两针成直角。


例3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
(5×6)÷(1-1/12)≈33(分)
答:6点33分的时候分针与时针重合。


14、盈亏问题


【含义】
根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。


【数量关系】
一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差
如果两次都盈或都亏,则有:
参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差
参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差


【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。


例1
给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系:
(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)
(2)有多少个苹果?3×12+11=47(个)
答:有小朋友12人,有47个苹果。


例2
修一条公路,如果每天修260米,修完全长就得延长8天;如果每天修300米,修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知
原定完成任务的天数为
(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)
这条路全长为300×(22+4)=7800(米)
答:这条路全长7800米。


例3
学校组织春游,如果每辆车坐40人,就余下30人;如果每辆车坐45人,就刚好坐完。问有多少车?多少人?

本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有
(1)有多少车?(30-0)÷(45-40)=6(辆)
(2)有多少人?40×6+30=270(人)
答:有6辆车,有270人。


15、工程问题


【含义】
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。


【数量关系】
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)


【解题思路和方法】
变通后可以利用上述数量关系的公式。


例1
一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?

题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)
答:两队合做需要6天完成。


例2
一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?
解一
设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7÷(1/6-1/8)=168(个)
答:这批零件共有168个。
解二

上面这道题还可以用另一种方法计算:
两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知,甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以,这批零件共有24÷1/7=168(个)


例3
一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?

必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12=560÷10=660÷15=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(60-5×2)÷(6+4)=5(小时)
答:还需要5小时才能完成。


例4
一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?

注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×4×5),2个进水管15小时注水量为(1×2×15),从而可知
每小时的排水量为(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15
又因为在2小时内,每个进水管的注水量为1×2,
所以,2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?(15+1×2)÷(1×2)
=8.5≈9(个)
答:至少需要9个进水管。


16、正反比例问题


【含义】
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。


【数量关系】
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。


【解题思路和方法】
解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。


例1
修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?

由条件知,公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)
答:这条公路总长3600米。


例2
张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?

做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=91×4X=91×4÷28X=13
答:91分钟可以做13道应用题。


例3
孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?

书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完,就有24∶36=X∶15
36X=24×15X=10
答:10天就可以看完。


17、按比例分配问题


【含义】
所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。


【数量关系】
从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和


【解题思路和方法】
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。


例1
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188(棵)
二班植树560×48/140=192(棵)
三班植树560×45/140=180(棵)
答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。


例2
用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

3+4+5=1260×3/12=15(厘米)
60×4/12=20(厘米)
60×5/12=25(厘米)
答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。


例3
从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=1717×9/17=9
17×6/17=617×2/17=2
答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。


例4
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?


80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)
答:三个车间一共820人。


18、百分数问题


【含义】
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。
在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。


【数量关系】
掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:
百分数=比较量÷标准量
标准量=比较量÷百分数


【解题思路和方法】
一般有三种基本类型:
(1)求一个数是另一个数的百分之几;
(2)已知一个数,求它的百分之几是多少;
(3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。


例1
仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

(1)用去的占720÷(720+6480)=10%
(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%
答:用去了10%,剩下90%。


例2
红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?

本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)÷525=0.2=20%
或者1-420÷525=0.2=20%
答:男职工人数比女职工少20%。


例3
红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?

本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此
(525-420)÷420=0.25=25%
或者525÷420-1=0.25=25%
答:女职工人数比男职工多25%。


例4
红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

(1)男职工占420÷(420+525)=0.444=44.4%
(2)女职工占525÷(420+525)=0.556=55.6%
答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。


19、“牛吃草”问题


【含义】
“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。


【数量关系】
草总量=原有草量+草每天生长量×天数


【解题思路和方法】
解这类题的关键是求出草每天的生长量。


例1
一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以
1×10×20=原有草量+20天内生长量
同理1×15×10=原有草量+10天内生长量
由此可知(20-10)天内草的生长量为
1×10×20-1×15×10=50
因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100
(3)求5天内草总量
5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
(4)求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)
答:需要5头牛5天可以把草吃完。


例2
一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘
水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:
(1)求每小时进水量
因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量
10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量
所以,(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14
因此,每小时的进水量为14÷(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是
30÷(17-2)=2(小时)
答:17人2小时可以淘完水。


20、鸡兔同笼问题


【含义】
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。


【数量关系】
第一鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)


【解题思路和方法】
解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。


例1
长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

假设35只全为兔,则
鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡,则
兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答:有鸡23只,有兔12只。


例2
2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?

此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有
白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)
答:白菜地有10亩。


例3
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有
作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答:作业本有15本,日记本有30本。


例4
(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

假设100只全都是鸡,则有
兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答:有鸡80只,有兔20只。


例5
有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?

假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚
(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答:共有大和尚25人,有小和尚75人。


21、方阵问题


【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。


【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:总人数=(外边人数)?-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数×2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4


【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。


例1
在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?

22×22=484(人)
答:参加体操表演的同学一共有484人。


例2
有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。

10-(10-3×2)?
=84(人)
答:全方阵84人。


例3
有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?

(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)
答:这队学生共160人。


例4
一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?

(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)
(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)
答:棋子有40只。


例5
有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

第一种方法:1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:(5+1)×5÷2=15(棵)
答:这个三角形树林一共有15棵树。
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